Zahlen Systeme in der Computer Technik

In der Informatik spielen Zahlensysteme eine wichtige rolle, wir beschäftigen uns hir mit den Binär, Dezimal. BCD und Hexadezimal system.

Das Dezimal System was wir Menschen nutzen ist für einen Computer nicht sonderlich gut geeignet da es auf der Basis 10 Basiert. Das heißt das in einer Stelle 10 Verschiedene zustände dargestellt werden können, da Computer mit Elektrischen zuständen Arbeiten und es Schwierig ist genau Spannungen zu Speichern hat man sich entschieden nur 2 Zustände zu nutzen Strom Ein und Strom Aus. Daraus ergeben sich die 2 zustände 1 und 0 dementsprechend musste ein System geschaffen werden welches nur diese beiden zustände nutzt um alle werte darzustellen.

Das Binärsystem

Es erfühlt diese Anforderungen in jeder stelle werden nur 2 Zustände genutzt 1 und 0. Um alle möglichen zahlen abzubilden besitzt jede stelle ihre eigenen Wertigkeit. So hat die Stelle 1 die Wertigkeit 1 und die stelle 2 die Wertigkeit 2, immer die neste stelle hat den doppelten wert der vorherigen so hat Stelle 3 der Wert 4.

In dieser Tabelle ist dieser Zusammenhang dargestellt:
Stelle Wertigkeit
1 1
2 2
3 4
4 8
5 16
6 32
7 64
8 128

Binär zu Dezimal

Wenn man nun eine Zahl abbilden möchte muss man die entsprechende Stelle auf eins setzen. Für die Dezimalzahl 3 muss beispielsweise die erste und zweite stelle gesetzt werden.
1286432168421...
000000111 + 2= 3
Zu Umwandlung müssen nur noch die Wertigkeiten addiert werden. Ein Weiteres Beispiel für Dezimal 71:
1286432168421...
010001111 + 2 + 4 + 64= 71

Dezimal zu Binär

Die Umwandlung von Dezimal zu Binär ist denkbar einfach , man muss nur prüfen was die höchste Wertigkeit ist die in die Zahl passt und wiederholt dieses bis die Zahl aufgelöst ist.

Beispiel für 26:

1. Die höchste Stelle die in die 26 passt ist die 16, als Rest bleibt : 10
2. Die höchste Stelle die in die 10 passt ist die 8, als Rest bleibt : 2
3. Die höchste Stelle die in die 2 passt ist die 2, als Rest bleibt : 0
Das Ergebnis Lautet also 0001 1010

Beispiel für 249:

1. Die höchste Stelle die in die 249 passt ist die 128, als Rest bleibt : 121
2. Die höchste Stelle die in die 121 passt ist die 64, als Rest bleibt : 57
3. Die höchste Stelle die in die 57 passt ist die 32, als Rest bleibt : 25
4. Die höchste Stelle die in die 25 passt ist die 16, als Rest bleibt : 9
5. Die höchste Stelle die in die 9 passt ist die 8, als Rest bleibt : 1
6. Die höchste Stelle die in die 1 passt ist die 1, als Rest bleibt : 0
Das Ergebnis Lautet also 1111 1001

Das Hexadezimal System

Das Hexadezimale Zahlensystem ist für die direkte Verarbeitung mit Digitaler Logik ungeeignet da es auf Basis 16 basiert. Also 16 verschiedene zustände pro stelle möglich sind 0 – f. Jede Stelle wird von 0-9 und danach von a-f hochgezählt nach den f gibt s einen Überlauf in die neste stelle.

DezimalBinärHexadezimal
10000 00011
20000 00102
30000 00113
40000 01004
50000 01015
60000 01106
70000 01117
80000 10008
90000 10019
100000 1010a
110000 1011b
120000 1100c
130000 1101d
140000 1110e
150000 1111f
160001 000010
170001 100111
180001 101012
190001 101113
200001 010014

In der Informatik wird das Hexadezimale System aus den Grunde genutzt da sich Binäre werte damit leichter darstellen lassen. So Spiegelt eine Hexadezimal Stelle 4 Bit / Stellen im Binär System wieder. Dieser Zusammenhang ist in der Tabelle Rot dargestellt. Dieser Zusammenhang setzt sich fort so lassen sich mit 2 Hexadezimal Stellen alle Werte von 8 Bit / Stellen des Binär Systems Darstellen wie unten zu sehen.

DezimalBinärBinäre einheitHexadezimal
151111Nibbelf
2551111 1111Byteff
65.5351111 1111 1111 1111Wordffff
4.294.967.2951111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111DoubleWordffffffff

Das BCD System

Das BCD System ist ein Zahlensystem zu einfachen Darstellungen von Dezimalen Zahlen mit Hilfe des Binärsystems. Für die Darstellung einer Dezimalen Zahl im BCD System wird jeder Dezimal Stelle 4 Bits zugeordnet die die Zustände 0 bis 9 annehmen können (0000 – 1001). Wenn die Dezimale Zahl mehrere Stellen hat wird sie in einzelne Gruppen aus 4 Bits zerlegt, die 25 einspräche so der 0010 0101.

Das BCD System nutzt nicht alle Möglichkeiten der 4 Bits aus deshalb lassen sich mit 8 Bits nur 100 Zustände darstellen 0 – 99, im Binären System lassen sich mit 8 Bits 256 Zustände darstellen 0 – 255. Das Bedeutet das im BCD System nur ~40% des Speichers genutzt wird. Mit Normaler Binärer Logik lassen sich BCD Zahlen nicht verarbeiten es gibt allerdings Bausteine (ICs) die für dies Bearbeitung ausgelegt sind.

Dezimal zu BCD

Um die Dezimale 207 im BCD System abzubilden wird jede Dezimal Stelle 4 Bits zugeordnet und Binär Kodiert.
0-9xxxx0-9xxxx0-9xxxx0-9...
00000010000001112->0010 0->0000 7->0111= 0000 0010 0000 0111
Ein weiteres Beispiel für die 4001:
0-9xxxx0-9xxxx0-9xxxx0-9...
01000000000000014->0100 0->0000 0->0000 1->0001= 0100 0000 0000 0001

BCD zu Dezimal

Für die Umwandelung von BCD zu Dezimal müssen nur die Binär Codierten Werte der 4Bit Gruppen aneinander gehängt werden.

Beispiel für 0010 1000 0000 0011:

0011→3---+
0000 →0--+|
1000 →8-+||
0010 →2\/\/\/\/
=2803

Fazit

Jedes System hat seine Daseinsberechtigung das Binäre ist das einzige was in Logischen Schaltung Funktioniert. Dafür ist es nicht so leicht für Menschen lesbar wie das Dezimale System, das Hexadezimale bildet einen guten Kompromiss aus Lesbarkeit und nähe zum Binär System.